域 (Field)

在討論域 (Field) 之前，讓我們先來看看什麼是二元運算：

二元運算 (Binary operation)：令 A 為一個集合，在 A 上的一個二元運算是一個函數 o : A × A → A。

註1：「集合 A 上的二元運算」暗示了該二元運算在 A 上是封閉的 (Closed)。

註2：在實數與有理數中，加法、乘法皆為二元運算，即若 a 及 b 為有理數 (或實數)，其相加 (a + b) 與相乘 (a ⋅ b) 也是有理數 (或實數)。但是乘法在無理數中就不是二元運算；例如，兩個根號相乘可能為有理數，不再是無理數。


數學中的域 (Field) 是一種可進行二元運算的基本代數結構，其在執行多個二元運算時，同時需要滿足結合律 (Associative law)、交換律 (Commutative law)、分配律(Distributive law) 等運算律。域的結構被廣泛應用於代數、集合論以及其他數學領域中。

代數的域

域 (field)：一個域是一個 (F, +, ⋅) 三元組 (triple or 3-tuple)，其中 F 是一個集合，+ 和 ⋅ 是在 F上的二元運算子 (分別稱為加法和乘法)；令 a, b, c 為 F 的元素，域滿足下列 9 個稱為域公理 (field axioms) 的條件：

1. 加法和乘法標識 (Additive and multiplicative identity)：

   存在 0 ∈ F 使得 a + 0 = a; 存在1 ∈ F 使得 a ⋅ 1 = a.

2. 加法反元素 (Additive inverses)：

   存在 –a ∈ F 使得 a + (-a) = 0.

3. 乘法反元素 (Multiplicative inverses)：

   對所有 a ≠ 0，存在 a-1 ∈ F使得 a ⋅ a-1 = 1.

4. 加法和乘法的結合性 (Associativity of addition and multiplication)：

   a + (b + c) = (a + b) + c, a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.

5. 加法和乘法的交換性 (Commutativity of multiplication)：

   a + b = b + a, a ⋅ b = b ⋅ a.

6. 乘法對加法的分配性 (Distributivity of multiplication over addition)：

   a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)

註1：我們通常稱域 F，而不是域 (F, +, ⋅)。

註2：除了加法和乘法之外，透過加法反元素可以進行減法運算、乘法反元素可以進行除法運算；所以在代數中，域是一種可進行加、減、乘、除四則運算的代數結構 (Algebraic structure)。

集合的域

集合域 (Field of sets) 和抽象代數的域類似，是「集合上的二元運算」，所以也被稱為集合代數 (Algebra of sets)；不同的是集合域是由宇集 (例如，樣本空間) 以及宇集的部份 (至少一個) 子集合所組成，而且子集合原來就滿足結合律、交換律、分配律等運算律。

設 Ω 為一非空集合，其冪集 P(Ω) 的子集 F 若滿足以下三條件，則稱其為域 (Ω, F)：

1. 非空集合 (Nonempty set)：

   F ≠ ∅.

2. 餘集封閉性 (Closed under complement)：

   A ∈ F ⇒ A^C ∈ F ;

3. 交集封閉性 (Closed under the union)：

   A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F .

註1：我們通常簡稱為域 F，而不是域 (Ω, F)。

註2：給定集合 Ω，其冪集 (Power set) P(Ω) (或作 2^Ω）是以 Ω 的全部子集為元素的集合。例如，在丟擲一枚錢幣 2 次，觀察其出現正面次數的試驗中，P(Ω)={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}}。

註3： ∅, Ω ∈ F，因為∅ ∈ F ⇒ ∅^C = Ω ∈ F。

註4：透過狄摩根定理 (De Morgan's laws) 在 F 上的交集、聯集和差集都是二元運算。

註5：A₁, A₂, …, A_n ∈ F，A₂, …, A_n的交集以及聯集也屬於 F。

註6：F_i, i ∈ I 為域，則F_i 的交集也是域。

σ域 (σ-field)

σ 域或稱為 σ 代數 (σ-algebra) 是一個滿足可數聯集封閉性 (Closed under countable unions) 的集合域；即 σ 域是一個域，但是其第 3 個條件擴充為具有可數聯集封閉性。

設 (Ω, Σ) 為一域，其中 Ω 非空宇集，Σ 為 Ω 的冪集 P(Ω) 的子集，若滿足下列條件，則稱其為σ域：

可數聯集封閉性 (Closed under countable unions)：

如果 A₁, A₂, A₃ , ... ∈ Σ，則 A = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ... ∈ Σ.

註1：透過狄摩根定理，σ 域也具有可數交集封閉性。

註2：(Ω, Σ) 也稱為測量空間 (Measure space)。

例如，在 P(Ω)={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}} 中，{∅, {0, 1, 2}}是最小的 σ 域，{∅,{0,1,2},{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}} 是最大的 σ 域。一個 σ 域如果包含 {0}，則必包含其餘集 {1, 2}，故該 σ 域為 {∅,{0,1,2},{0},{1,2}}。同理{∅,{0,1,2},{1},{0,2}} 和 {∅,{0,1,2},{2},{0,1}} 也是一個 σ 域。